素数腕立て伏せ Advent Calendar 11日目 #prime_num_pushups

素数腕立て伏せってなんじゃ？という方はまずこちらをどうぞ。
素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ


今日も昨日と同じく2セットやるよ！

11日目
1セット目　41回
2セット目　22回
41 + 22 = 63回で負け（合成数）

今日の2セット目は昨日と変えて42からカウントする方式にしてみた。62回で潰れそうになって「昨日と同じ記録は嫌だ」という気持ちが働いて+1回できました。
1セット目の調子が良すぎたせいか、2セット目で疲れてしまったみたい。
$63 = 4^0(8*7 + 7)$ なので3個の平方数の和では表せませんね。

ところでWikipedia先生のページで興味深い記述が。

$63 = 2^6 - 1$。一般に n が合成数のとき$2^n-1$は合成数になる。
63 - Wikipedia

うーん、なんでだろ？ n が 素数-1（合成数）の場合はフェルマーの小定理から明らかだよなー。
なんか関係あるかも、とメルセンヌ数のページを見てたら理由が書いてありました。オゥフ、高校数学を忘れてたでござる。

前者の対偶である命題「n が合成数ならば Mn は合成数である」は次の式から示される[3][8]。
\[2^{ab}-1 = (2^a - 1)\{1 + 2^a + 2^{2a} + ... + 2^{(b-1)a}\}\]
メルセンヌ数 - Wikipedia