2014-12-01

素数腕立て伏せ Advent Calendar 1日目 #prime_num_pushups

素数腕立て伏せってなんじゃ?という方はまずこちらをどうぞ。

素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ
素数腕立て伏せ進行状況 - Togetterまとめ

このアドベントカレンダーでは今日から毎日、素数腕立て伏せをしてその実施報告をしていきます。誰が得をするのか分からないけど、今日の昼頃に急に思い立ったのでしょうがない。インターネットでは誰かが得をすることはもう誰かがやっているので、私がやる必要はないのです。

1日目
28回で負け(合成数)。

1日目から負けとは悔しい。23回あたりで「29回までならイケるやろ」と気を抜いたのがダメだったみたい。ひさしぶりだったせいか、素数力(素数回目までがんばろうという気力)の出し方を忘れているようだ。

負けだけど、せっかくなので28をWolframAlpha先生に聞いてみよう。
28 - Wolfram|Alpha
28は3通りの方法で4つの平方数の和で表せる最小の数字。だけど3つの平方数の和で表すのは不可能だそうです。なんでだろね?(※)


素数腕立て伏せ一言アドバイス
メガネは外しておきましょう。力尽きた時に刺さります。(危なかった)


なおこのACは29日か31日まで続けます。25は5*5だからヤダ。




※ 長風呂してちょっと考えてみた。
二乗して28より小さい自然数は1〜5。28は偶数だから3つの平方数は$(偶,偶,偶)$か$(偶,奇,奇)$の組み合わせになるはず。つまり最低一つは偶数が含まれる。その偶数を$2a$として表そう。$b,c$を3つ組みの残りとして次のように式変形してみる。

\[
\begin{eqnarray}
28 = 2^2*7 & = & (2a)^2+b^2+c^2 \nonumber \\
2^2(7-a^2) & = & b^2+c^2 \nonumber
\end{eqnarray}
\]

$2a = 2 \ or\ 4$ だから $a=1\ or\ 2$。ということは次の2つの場合が不可能と言えればOKそう。

\[
\begin{eqnarray}
2^2(7-1^2) = 2^3 *3 & = & b^2+c^2 \\
2^2(7-2^2) = 2^2 *3 & = & b^2+c^2
\end{eqnarray}
\]

ここまで考えてよく分かんなくなってきたので、Wikipediaのこのページでカンニングした。
二個の平方数の和 - Wikipedia

(1)の場合は合成数についての証明に「素因数として3を平方以外で持ってる数は二平方和で表せない」とあるので大丈夫。
(2)も同じ理由で不可能。
これで証明終了できた...っぽい。

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