2014-12-08

素数腕立て伏せ Advent Calendar 7日目 #prime_num_pushups

素数腕立て伏せってなんじゃ?という方はまずこちらをどうぞ。
素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ



はっ寝てた。
AC的には失敗ですが、しょうがないのでこのACでは最初から「インドのタイムゾーンを使用していた」ことにします。ハハッ、まだ21時だ。

7日目
29回で勝ち(素数)



昨日、2セットやったのが響いているのかちょっと腕がつらかった。28で潰れそうになったのを素数力を振り絞り+1回やりました。


ところで29は4で割って1余る素数なので2平方和定理より2つの平方数の和で表せます。

\[ 29 = 2^2 + 5^2 \]

2平方和定理を初等的に証明する方法はいろいろあるみたいですが、Zagier先生の一文証明が面白いですね。

有限集合$S=\{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3|x^2+4yz=4n+1\}$上の対合
\[ (x,y,z) \mapsto \begin{cases}
(x+2z,z,y-x-z) & \mbox{if; } x<y-z \\
(2y-x,y,x-y+z) & \mbox{if; } y-z<x<2y \\
(x-2y,x-y+z,y) & \mbox{if; } 2y<x
\end{cases}
\]
は必ず一個の不動点を持つから、集合Sの元の個数は奇数であり、対合
\[(x,y,z)\mapsto(x,z,y)\]
も不動点を持つ。

二個の平方数の和 - Wikipedia


たしかこの証明を初めて知ったのは数学セミナーの記事でした。一見意味不明ですが、ちゃんと計算してやるといい感じに収まります。
※ 対合=2回やると元の要素に戻る写像。

たしか最初の対合がちょうど一つの不動点を持つと確かめるのに計算が面倒だった気がする。
対合はいわゆる「はーい、二人組を作って〜」ってやつなので不動点=ぼっちが1人いることを示せれば集合Sの要素数は奇数だと言える。そんで2番目の対合にもぼっち、じゃなかった不動点があるので $4n+1=x^2+4yz=x^2+(2y)^2$と書けてQEDという流れです。



素数腕立て伏せ一言アドバイス
メシ食う前にやるべ。眠くなっからな。

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