2014-12-23

素数腕立て伏せ Advent Calendar 22日目 #prime_num_pushups

素数腕立て伏せってなんじゃ?という方はまずこちらをどうぞ。
素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ


ねむい!

22日目
29回で勝ち(素数)


いつもよりゆっくり目に腕立て伏せをしてみたらこんな記録になってしまった。
普段は勢いに任せてやってたところもあったみたい。


ところで昨日の2通りの方法で2つの平方数の和で表せる数についてごりごり計算して考えてみました。



(本屋のブックカバーを広げてミウラ折りにしておくと計算用紙として便利。ほどほどに大きい)


結局よくわかんなーい、だったですが途中まで確認した事実をアウトプットしておきましょう。自分でも忘れそうだし。

$ x = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ とします。まずはそれぞれの大小関係を考えてみます。

$ a \le b かつ c \le d $としておいて、b,dを考えます。b=d はありえない(2通りじゃなくて1通りになるから)。なので b<d とできる(逆でもいいけど分かりやすい順にした)。
それでこんなふうに式変形してみると c<a ってこともわかる。

\[
\begin{eqnarray}
a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \nonumber \\
a^2 - c^2 = d^2 - b^2 \nonumber
\end{eqnarray}
\]

b<d から右辺は正数、左辺も同様なので $a^2 - c^2 > 0 $ から c<a がわかるという寸法です。
これらの条件を組み合わせると次の大小関係がわかります(ねむい、tex調べながら書くのだるい)。

\[
\begin{equation}
c < a \le b < d
\end{equation}
\]

これで大小関係はひとまず分かった。つぎは、、、最初の式をもう少し変形してみようかな。

\[
\begin{eqnarray}
a^2 + b^2 & = & c^2 + d^2 \nonumber \\
a^2 - c^2 & = & d^2 - b^2 \nonumber \\
(a - c) ( a + c ) & = & (d-b)(d+b) \nonumber \\
\frac{a + c}{d - b} & = & \frac{ d + b} {a -c}
\end{eqnarray}
\]

(2)は、、、なんかこれからもう少し何か言えそうなんだけど。
あと平方数同士の差って連続する奇数の和と等しいから、異なる範囲の連続する奇数の和が等しくなる条件は何かって問題は同値だよなぁ、とか思ったけどなむい。今日はここまでだ。


あとオンライン整数列大辞典で50,65,85を検索したらいくつか登録されてましたね。これとかそのまま。
A118882 Numbers which are the sum of two squares in two or more different ways.


素数腕立て伏せ一言メモとかどうでもいいや
ねむい

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