『モンティ・ホール問題』を図で解説してみる : サルノオボエガキ

最近、数学付いているので調子に乗って、以下で出題されていたモンティ・ホール問題という確率の問題を考えてみました（問1のノーマルなやつだけですが）。

はてな民に確率の問題を出してみよう - Pashango’s Blog
【回答編】はてな民に確率の問題を出してみよう - Pashango’s Blog

一応、問題文をWikipediaより転載。

プレイヤーは、3つのドアを見せられる。ドアの1つの後ろにはプレイヤーが獲得できる景品があり、一方、他の2つのドアにはヤギ（景品がなく、ハズレであることを意味している）が入っている。ショーのホストは、それぞれのドアの後ろに何があるか知っているのに対し、プレイヤーはドアの後ろの様子はもちろん知らない。

プレイヤーが第1の選択をした後、ホストのモンティは他の2つのドアのうち1つを開け、ヤギを見せる。そしてホストはプレイヤーに、初めの選択のままでよいか、もう1つの閉じているドアに変更するか、どちらかの選択権を提供する。プレイヤーは、選択を変更すべきだろうか

もうすでに回答が出てるんですけど、自分自身の理解を深めるために図に描いてそれぞれ計算してみました。自分も含めて数学が苦手な人って、言葉で説明されると納得いかないけど、図で説明されるとなぜかあっさり理解できてしまうことが多いような気がします（右脳左脳タイプ？）。

(Powered by ZeptoPad)

上の図では、問題のなかのクイズ回答者が取り得るすべての場合分けを樹形図で描いています。矢印の上の数字は、その先の選択をする確率を表しています。左側から、回答者が最初のドアを選んだときの場合分け（自動車、ヤギ、ヤギがそれぞれ1/3）、次に司会者が開けるドアの場合分け（最初のドアが自動車の場合は1/2になるが、ヤギだった場合は選択の余地なくヤギのドアが開けられる）、最後に選択したドアを変更するか否かの場合分け（それぞれ1/2で結果はその横に）。

図をざっと見てみてどうでしょう？　何か納得がいかないところがあるでしょうか（絵が下手というのはおいといてｗ）？　それぞれの矢印上の確率は独立なので問題ないと思います。最初にヤギを選んだ場合、司会者が開けるドアは必ずもう一つのヤギのドアだからそれは確率1になりますね。思うにこれがモンティホール問題のミソなんじゃないですかねー。

じゃぁ、気合いを入れて計算します。
まずは右端の結果について、それぞれが起こる確率を全部計算しちゃいましょうか。左端の支点から結果に続くルート上の確率を単純に乗算すれば良いはずです（それぞれ独立な事象が同時に起こる確率だから）。

（選択したドア，開けられたドア、結果）＝確率とすると、

（自動車，ヤギ、変更=ヤギ）=(1/3) * (1/2) * (1/2) = 1/12
（自動車，ヤギ、不変=自動車）=(1/3) * (1/2) * (1/2) = 1/12
（自動車，ヤギ、変更=ヤギ）=(1/3) * (1/2) * (1/2) = 1/12
（自動車，ヤギ、不変=自動車）=(1/3) * (1/2) * (1/2) = 1/12
（ヤギ、ヤギ、変更=自動車）=(1/3) * 1 * (1/2) = 1/6
（ヤギ、ヤギ、不変=ヤギ）=(1/3) * 1 * (1/2) = 1/6
（ヤギ、ヤギ、変更=自動車）=(1/3) * 1 * (1/2) = 1/6
（ヤギ、ヤギ、不変=ヤギ）=(1/3) * 1 * (1/2) = 1/6

ふー、メンドクセ。

えぇと、話しを元に戻すと、分かりたいことは「自動車を当てるためには司会者がドアを開けたときに選択を変更すべきなのか」ということ。だから計算しなきゃいけないのは「図の結果で”変更”したときに自動車が当たる確率」です。そのためには「変更=自動車の確率／（変更=自動車の確率＋変更=ヤギの確率）」を計算する必要があります。

(1/6+1/6) / (1/6+1/6 + 1/12+1/12) = (1/3) / (1/2) = 2/3

ようやく答えが出ましたね。2/3です。変更した方が確率が上がるみたいですね。「変更しなかったときに自動車が当たる確率」はこれの逆（余事象）なので1-2/3=1/3で出るんですが、折角全パターンを計算したので、これも泥臭く計算してみましょう。

(1/12 + 1/12) / (1/12+1/12 + 1/6+1/6) = (1/6)/(1/2) = 1/3

出ました。やっぱり変更しないと1/3のまんまです。

結論：モンティ・ホール問題では司会者がドアを開けたあとにクイズ回答者はドアの選択を変更すべきである。

間違えないようにかなり丁寧に計算したので、自分としては納得できました。ちなみに最初のこの問題を出題されている記事の問2の場合は、場合分けの樹形図が「選択したドア=ヤギ」→「開けられたドア=ヤギ」のルートが二股に分かれちゃって、それぞれ1/2になってしまうので、最終的にドアの選択を変更しようがしまいが関係なくなっちゃうみたいですね。

こういう場合分けの樹形図は、以下の統計学の教科書でベイズの定理の条件付き確率を説明するときに出されていました。このエントリの説明はその教科書に習ったかたちになります。大学で使ってたけど、この教科書は分かりやすかったな～。

統計学の基礎

posted with amazlet at 09.08.05

J.C. ミラー
培風館
売り上げランキング: 329889

Amazon.co.jp で詳細を見る

確率論はバクチの裏技から始まって、近代になってからきちんと数学的な理論付けがされて、今では金融取引からGoogleページランクまでいろいろ使われてますが、確率論が現実生活においてどのように対応しているのかということは、未だ解決されていない哲学的問題だそうです。このあいだ読んだ『統計学を拓いた異才たち』という本に書いてありました。何だかここらへんにはカイブツが潜んでそうな気配がするな－。