最近なぜか自分の中で数学熱が再燃してます。いろいろ図書館で本を借りてきてうんうん唸りながら読んでます。今日、読み終えたのは『ファインマンさん、力学を語る』という本。
物理の本なんですが、惑星軌道のケプラーの法則を幾何学的に証明する、というファインマンさんが実際に行った講義を収録した本です。よく知らないけれど、普通は大学でこれを教えるときは微積分を使って証明するらしいんです。しかしファインマンさんはニュートンの『プリンキピア』に習って幾何学的に証明することにチャレンジしたそうです。さて微積分と幾何学とどっちが分かりやすいか？ それはこの本の一節が物語っています。
「簡単なことには簡単な証明がある」と、ファインマンはその講義ノートに書きました。それから彼は、二番目の「簡単」を消して、それを「初等的」と書き直しました。証明の筋を追うのが正直大変でした。幾何学の証明を文章で説明されると軽く混乱します。でも最後まで読んで、最初の方を読み直すとすごく分かりやすい。それに図形による説明が、なんだか奇跡のようにぴったり符合する様子が美しいと思いました。
本当をいうと、この本を読むのはこれが5，6回目で、今までは途中で挫折していました。でも今日改めて読んでみたらようやく分かった（ような気がする）。
なんだか２７歳になっても分からなかったことが分かるようになるという成長の証を感じ取れると嬉しいですね。
でももう一回ぐらい読み直して見ようかな。
あともう一つ。「４で割って１あまる素数は２つの平方数の和で表される」という定理があります。たとえば、13=4*3+1=2^2+3^2、17=4*4+1=1^2+4^2、29=4*7+1=2^2+5^2などなど。
これにはDon Zagierさんのワンセンテンス証明（one-sentence proof）があります。私はこれを数学セミナーの2000年9月号の記事で初めて知ったんですが、あまりに簡潔すぎてびびりました。実際の証明はWikipediaのこの記事（一文証明の項）を参照。
実際の証明はWikipediaやこちらのテキストで確認できたんですが、なぜそうなるのかちゃんと理解できてませんでした。それで今日はガシガシ計算してようやく全部納得できました（最初記号を写し間違えて計算が合わなくて困ったのは内緒だ！）。
結果だけいうと、最初の変換の不動点はx=yですね。あと変換の場合分けを（1）、（2）、（3）と順番に名付けると、（2）→（2）または（2）→（1）→（3）→（1）→（3）→・・・という変換の順序になります。不等式を計算してみれば分かりますよ－。
いやー、計算しててちょうど上手くいくのが奇跡的に思えましたね～。それにしても謎なのはZagierさんがどうやってこれを思いついたか。世の中には恐ろしく天才な人がいるもんですねー。
ちなみにZagierさんのご尊顔はWikipedia記事で見られます。髭がプリチー。
そんなこんなで数学に頭を使った一日でした。脳が疲れたので今日はよく眠れそうですｗ
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