2014-12-31

素数腕立て伏せ Advent Calendar まとめ #prime_num_pushups

素数腕立て伏せってなんじゃ?という方はまずこちらをどうぞ。
素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ



ACの経過を一覧表にまとめました。リンク集としてお使いくださいませ。
けっきょく全体の勝率は3割2分でした。



日数 腕立て回数 勝敗 メモ
1日 28 負け 28は3通りの方法で4つの平方数の和で表せる最小の数字。だけど3つの平方数の和で表すのは不可能。
2日 37 勝ち 37は原子ピタゴラス数の斜辺。MathJaxを導入して数式をキレイに表示できるようになるが、同時にTeX記法を覚えるという苦行が始まる。
3日 30 負け 30は2つの平方数の和では表せないけど3つならOK。ロッキーのテーマが筋トレBGMに最適だと気づく。
4日 32 負け @haruyamaさんに3つの平方数の和で表せる数の条件を教えてもらう。0を平方数に含めるかでちょっと混乱する。
5日 28 負け 4日目を引きずって自然数に0を含めるか考えていたらメガネをしたまま素数腕立て伏せを始めてしまいビビる。
6日 55 負け 2セット(33、22)の合計。素数腕立て伏せACの勧誘メッセージなど書いてみるが、PVは依然二桁
7日 29 勝ち 0時を越えてしまったが「始めからインド標準時使ってたし」という小学生並みの言い訳で乗り切る。二平方和定理の1文証明を紹介。
8日 37 勝ち 記録回数を平方数の和で表すのがクセになりはじめる。
9日 31 勝ち 記録が伸びなくて飽きてきたので次から2セット方式にすることに。
10日 62 負け 2セット(36、26)の合計。合計値が素数か脳内判定が難しくなってくる。オンライン整数列大辞典の存在を知る。
11日 63 負け 2セット(41、22)の合計。フェルマーの小定理メルセンヌ数の復習をする。
12日 35 負け 飲み会帰りだったので途中で気持ち悪くなり自重する。35は5通りの方法で3つの異なる素数の和で表せる最小の数字。
13日 32 負け 2通りの方法で2つの異なる素数の和で表せる最小の数字ってなんだろか、と考えて双子素数予想へ行き着く。
14日 46 負け 46は18の分割数と同じ。素数以外にも魅力ある数が多くて浮気しそうになるが素数腕立てニストとして気を引き締め直す。
15日 47 勝ち アウトドア素数腕立て伏せというアイデアを思いつくが未実行。あとの経過を見るとやらんでよかった。あと47はリュカ数
16日 43 勝ち ついにインド標準時でもカバーできなくなり「イラン標準時だし」という言い訳を始める。「そもそも地球時間とか相対論的効果とかさー」と面倒くさいことを言い出す。
17日 52 負け 52は5番目のベル数。だんだん素数間隔が増えてきてキツくなってくる
18日 31 勝ち この頃に風邪を引いたみたい。熱があったらしく筋肉痛っぽい症状がでる。
19日 33 負け 本格的に熱がでて寝込むがヤケクソで素数腕立て伏せは続ける。
20日 37 勝ち 平熱に戻ったので心置きなく素数腕立て伏せをする。ベルヌーイ数をしらべて関孝和の偉大さを知る。
21日 50 負け 素数腕立て伏せ健康法により全快。2通りの方法で2つの平方数の和で表せる数についていろいろ計算する
22日 29 勝ち 21日目の2通り2平方和について確認した事実をメモる。記録はイマイチ伸びていない。
23日 46 負け ここまでの勝率を集計。3割9分。
24日 49 負け イブの日付を一桁数字にバラして平方和を取ると25になるという神秘的事実を発見してイブどころじゃない
25日 38 負け クリスマスだけど特に関係なく素数腕立て伏せ。あと$12^2+25=13^2$という意味深な関係を発見
26日 48 負け 正48角形は定規とコンパスで作図可能。フェルマー素数とか調べる。
27日 50 負け 大掃除をしてピカピカの床で素数腕立て伏せができて幸せ
28日 27 負け 腕立て中にカーチャンに話しかけられて混乱して潰れる。素数腕立て伏せにはメンタルも重要だと認識。
29日 43 勝ち 素数腕立て伏せダイエット本が出せないか企む
30日 33 負け ゴールドバッハ予想についてちょっと調べる
31日 58 負け 負けだが2セット形式を除けば過去最高記録でフィニッシュ! idoneal numberという新たな敵が現れる...!!

素数腕立て伏せ Advent Calendar 31日目(最終回) #prime_num_pushups

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素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ


最終回じゃー!

31日目
58回で負け(合成数)



負けだけど連続での素数腕立て伏せでは最高の回数だ。30ぐらいでもまだ余裕があったので「イケるかな?」と思ってガンバった。
欲を言えば59(素数)までやって勝ちで終わりたかったけど、まぁいいや。
$ 58 = 3^2 + 7^2 $

Alphaちゃんによると58はIdoneal numberだとのこと。

58 is an idoneal number.
58 - Wolfram|Alpha

日本語でなんていうのか分からなかったけど英語版Wikipediaによるとこんな数らしいです。

In mathematics, Euler's idoneal numbers (also called suitable numbers or convenient numbers) are the positive integers D such that any integer expressible in only one way as x^2 ± Dy^2 (where x^2 is relatively prime to Dy^2) is a prime, prime power, or twice one of these.
(relatively prime=互いに素)

うーむ、こういうことかな。
正整数Dがidoneal numberであるならば、整数x,yによって

\[n = x^2 \pm Dy^2 \]

と書いたとき(ただし$x^2$と$Dy^2$は互いに素)、値nを素数素数のべき乗およびそれらの2倍にできる。
(定義が複雑でよく分からん。これで正しいのか?)


$ 3^2 + 58*1^2 = 67 $で素数ですね。他に適当にemacs lispで計算してみると($58=2*29$なのでxを2の倍数にすると互いに素にならないのでNG)、

(defun idoneal (d x y)
  (list (+ (* x x) (* d y y))
        (- (* x x) (* d y y))))

(idoneal 58 3 2)
(241 -223) ; 241 素数

(idoneal 58 5 1)
(83 -33) ; 83 素数

(idoneal 58 5 2)
(257 -207) ; 257 素数

(idoneal 58 7 1)
(107 -9) ; 107 素数

あれ、なんかすごくないこれ? Wikipediaによるとこの系列には無限個の素数を含んでいるそうです。
算術級数定理と似てるけど等差数列にはならないから違いますね。


idoneal numberは意外にも有限みたいです。
カール・ガウスとオイラーによって今まで65個のidoneal numberが発見されていて、それで全部だと予想されていると。

The 65 idoneal numbers found by Carl Friedrich Gauss and Leonhard Euler and conjectured to be the only such numbers are 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 12, 13, 15, 16, 18, 21, 22, 24, 25, 28, 30, 33, 37, 40, 42, 45, 48, 57, 58, 60, 70, 72, 78, 85, 88, 93, 102, 105, 112, 120, 130, 133, 165, 168, 177, 190, 210, 232, 240, 253, 273, 280, 312, 330, 345, 357, 385, 408, 462, 520, 760, 840, 1320, 1365, and 1848 (sequence A000926 in OEIS). Weinberger proved in 1973 that at most one other idoneal number exists, and that if the generalized Riemann hypothesis holds, then the list is complete.
Idoneal number - Wikipedia, the free encyclopedia

なんかリーマン予想とも関係あるらしいけど、もう追い切れないので切り上げる!


素数腕立て伏せ一言コメント
とうとうACをやり遂げました(インド標準時とかイラン標準時とか知らんもーん)。
12月1日に比べると明らかに腕力が付きました。あといろんな自然数の性質に触れて楽しかった。
最後の最後にidoneal numberなんていうよく分からない数も出てきて、「俺たちの素数腕立て伏せはこれからだ!」と打ち切りエンドっぽく盛り上がりました(自分の中では)。
各記事のPVは二桁なんですが、2015年も素数腕立て伏せニストとして普及に努めていきまーす。(来年はQiitaを使おう)


あと2014年中に今までのまとめ一覧表をアップしまーす。

2014-12-30

素数腕立て伏せ Advent Calendar 30日目 #prime_num_pushups

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これまでのまとめ記事を書こうと思ったけどクソメンドイっすね、書くけど。

30日目
33回で負け(合成数)


あと10回は行けたはず。TV見ながらやるのは止めよう。19日目の38.7度の熱を出してた時と同じ記録なのはアカン。

33 is the smallest number with 9 representations as a sum of 3 primes:
33 = 2+2+29 = 3+7+23 = 3+11+19 = 3+13+17 = 5+5+23 = 5+11+17 = 7+7+19 = 7+13+13 = 11+11+11
33 - Wolfram|Alpha

33は9通りの方法で3つの素数の和として表せる最小の数だと。
素数の和といえば「4以上のすべての偶数は2個の素数の和で表せる」というゴールドバッハの予想が有名ですね。
もともとゴールドバッハさんが述べたのは「5より大きな任意の自然数は3つの素数の和で表せる」という命題だったそうです。3素数の和で表せたとして、そのパターン数を求める定理は無いのかな?


ほかにWikipediaにある数学的性質ではこれが面白かった。

33 = 1! + 2! + 3! + 4!
33 - Wikipedia


素数腕立て伏せ一言メモ
明日で素数腕立て伏せACは終わりです。できれば53以上の素数で終わりたいなぁ(フラグ)。

2014-12-29

素数腕立て伏せ Advent Calendar 29日目 #prime_num_pushups

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コタツはあれか、催眠ビームでも出してんのけ?

29日目
43回で勝ち(素数)


53越えを目指してたのでイマイチ不満。うーむ、腕のポジションが安定して無かった気がするなー。
43は41と双子素数ですね。そういや29と31も双子素数だ。

41 and 43 form a twin prime pair.
43 - Wolfram|Alpha


素数腕立て伏せ一言メモ
お餅が美味しいのでつい食べ過ぎちゃったが、素数腕立て伏せのおかげで筋肉量が増えてるはずなのでたぶん大丈夫なはず。たぶん。

2014-12-28

素数腕立て伏せ Advent Calendar 28日目 #prime_num_pushups

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寒い!

28日目
27回で負け(合成数)


素数腕立て伏せの途中で話しかけられると記録が伸びないということが分かりました。
やはり精神統一と脳内カウントが大事みたいっすねー。

27 is the smallest number with 2 representations as a sum of 3 positive squares:
27 = 1^2+1^2+5^2 = 3^2+3^2+3^2
27 - Wolfram|Alpha


素数腕立て伏せ一言メモ
今度はロッキーのテーマをiPodで聞きながら素数腕立て伏せします。

素数腕立て伏せ Advent Calendar 27日目 #prime_num_pushups

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大掃除してたらこれを書くの忘れてしまった。腕立て自体はちゃんとやったよ!

27日目
50回で負け(合成数)


53を目指してたので残念。49でかなり限界にきてて+1回で力尽きた。
50は21日から2回めですね。2通りの方法で2つの平方数の和で表せる最小の数字。ただし0も平方数に含めると25が最小です($25 = 0^2 + 5^2 = 3^2 + 4^2$)。


素数腕立て伏せ一言メモ
大掃除すると素数腕立て伏せしたときに床がピカピカで気分いいですよ!

2014-12-27

素数腕立て伏せ Advent Calendar 26日目 #prime_num_pushups

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忘年会に出て年を忘れてたら筋トレの習慣も忘れてたわ〜(かなり大爆笑)

26日目
48回で負け(合成数)


またしても53まで行かなかった。スポーツ的な面もあるから今度は精神統一してからやろう。掛け声とかも。
$ 48 = 4^2 + 4^2 + 4^2$、ゾロ目でキレイ。


WolframさんとこのAlphaちゃんに訊いたところ正48角形は定規とコンパスで作図可能だとのことです。

A regular 48-gon is constructible with straightedge and compass.
48 - Wolfram|Alpha

ガウスはさらに1801年に出版した『整数論の研究』において、正 n 角形が作図可能であるための必要十分条件が、n が2の冪と相異なるフェルマー素数の積、すなわち
n = 2^mFaFb…Fc(Fa , Fb , … ,Fc は全て異なるフェルマー素数、m は非負整数)
の形であることを示した[6]。
定規とコンパスによる作図 - Wikipedia

フェルマー素数は $ p = 2^{2^m} + 1 $ と書ける素数のこと。

うーんと、$ 48 = 2^4 * 3 = 2^4 * (2^{2^0} + 1) $ か。たしかに条件は満たしてますね。

ところでWikipediaにあったモール-マスケローニの定理が気になるぞ(内容と語感がいい)。





素数腕立て伏せ一言メモ
素数腕立て伏せに必要不可欠となってきているWolframAlphaですが、Wolframおじさんの孫娘Alphaちゃんと考えると非常に癒やされることに気づきました。
「WolframAlpha 萌え擬人化」で検索しても出てこないから誰か描いちゃってもいいのよ。
ちなみにMathematicaは個人的には数学ガールのミルカさんのイメージ。


2014-12-26

素数腕立て伏せ Advent Calendar 25日目 #prime_num_pushups


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 クリスマスというものに、最近の犀川は何も感じない。十二月二十五日だから、1、2、2、5の数字を全部足すとちょうど10になる、というくらいの印象しかない。
笑わない数学者

クリスマス=チキンとケーキが安く買える日になりつつある。
そういや$12^2 + 25 = 13^2$ですね(深い意味は無い)。

25日目
38回で負け(合成数)


別のことを考えながらやり始めたら、なんかタイミングがおかしくなった。
手のポジション、タイミング、スピードなどをいつもどおりにしないと調子が狂うなぁ。
$38 = 2^2 + 3^2 + 5^2$


素数腕立て伏せアナウンス
1日目に書きましたが、25って数字が気に食わないのでアドベントカレンダーだけど31日まで続けます。
PVの少なさもなんのその、カーズ様だって言ってます「頂点に立つものは 常にひとり!」。(このセリフ、使い勝手よくて好き)

2014-12-25

素数腕立て伏せ Advent Calendar 24日目 #prime_num_pushups


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さっき気づいたけど$ 1^2 + 2^2 + 2^2 + 4^2 = 25 = 5^2 $だ、すごくね?
イブ? なんですかそれ。

24日目
49回で負け(合成数)


30ぐらいまでは調子良かったんだけど、45からの踏ん張りが効かなかった。
$ 49 = 7^2 = 2^2 + 3^2 + 6^2 $


素数腕立て伏せ一言メモ
続けてるといろんな数の性質について敏感になるみたいです。
「あの数を平方和で表すとー」とか無意識に考えてしまう。

2014-12-24

素数腕立て伏せ Advent Calendar 23日目 #prime_num_pushups

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あまりにも穏やかな1日過ぎて忘れるとこだった。

23日目
46回で負け(合成数)


50は越えると思ったんだけど勢いが途切れてしまった。素数日数は勝ちたかったなー。
$ 46 = 1^2 + 3^2 + 6^2 $


素数腕立て伏せACミニ集計
1日から23日までの素数腕立て伏せでは、
勝ち9回
負け14回

で、勝率は3割9分です。
残りは8日間。安全勝ちを狙わず常に攻めの勝ちを目指す所存であーる。


2014-12-23

素数腕立て伏せ Advent Calendar 22日目 #prime_num_pushups

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素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ


ねむい!

22日目
29回で勝ち(素数)


いつもよりゆっくり目に腕立て伏せをしてみたらこんな記録になってしまった。
普段は勢いに任せてやってたところもあったみたい。


ところで昨日の2通りの方法で2つの平方数の和で表せる数についてごりごり計算して考えてみました。



(本屋のブックカバーを広げてミウラ折りにしておくと計算用紙として便利。ほどほどに大きい)


結局よくわかんなーい、だったですが途中まで確認した事実をアウトプットしておきましょう。自分でも忘れそうだし。

$ x = a^2 + b^2 = c^2 + d^2$ とします。まずはそれぞれの大小関係を考えてみます。

$ a \le b かつ c \le d $としておいて、b,dを考えます。b=d はありえない(2通りじゃなくて1通りになるから)。なので b<d とできる(逆でもいいけど分かりやすい順にした)。
それでこんなふうに式変形してみると c<a ってこともわかる。

\[
\begin{eqnarray}
a^2 + b^2 = c^2 + d^2 \nonumber \\
a^2 - c^2 = d^2 - b^2 \nonumber
\end{eqnarray}
\]

b<d から右辺は正数、左辺も同様なので $a^2 - c^2 > 0 $ から c<a がわかるという寸法です。
これらの条件を組み合わせると次の大小関係がわかります(ねむい、tex調べながら書くのだるい)。

\[
\begin{equation}
c < a \le b < d
\end{equation}
\]

これで大小関係はひとまず分かった。つぎは、、、最初の式をもう少し変形してみようかな。

\[
\begin{eqnarray}
a^2 + b^2 & = & c^2 + d^2 \nonumber \\
a^2 - c^2 & = & d^2 - b^2 \nonumber \\
(a - c) ( a + c ) & = & (d-b)(d+b) \nonumber \\
\frac{a + c}{d - b} & = & \frac{ d + b} {a -c}
\end{eqnarray}
\]

(2)は、、、なんかこれからもう少し何か言えそうなんだけど。
あと平方数同士の差って連続する奇数の和と等しいから、異なる範囲の連続する奇数の和が等しくなる条件は何かって問題は同値だよなぁ、とか思ったけどなむい。今日はここまでだ。


あとオンライン整数列大辞典で50,65,85を検索したらいくつか登録されてましたね。これとかそのまま。
A118882 Numbers which are the sum of two squares in two or more different ways.


素数腕立て伏せ一言メモとかどうでもいいや
ねむい

2014-12-22

素数腕立て伏せ Advent Calendar 21日目 #prime_num_pushups

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風邪を引いても熱が出ても構わず素数腕立て伏せやってて結局治ったわけだから、素数のお陰で全快したと言えまいか。
素数腕立て伏せ健康法、イケまいか。

21日目
50回で負け(合成数)


体力も戻ってきたみたいです。59を目指してたけど53にも届かなかったよ。


ところで50は2通りの方法で2つの平方数の和に表せす最小の数字らしいですね。(smallestttってバグってるのかななな)

50 is the smallesttt number with 2 representations as a sum of 2 squares:
50 = 1^2+7^2 = 5^2+5^2
50 - Wolfram|Alpha

ではこの条件に叶う2番めに小さい数字ってなんだろう?
まず$ x = a^2 + b^2 = c^2 + d^2 $として、a,b,c,dはそれぞれ異なる数でないといけない。(←追記:コレ違う)
では50のときは$ a = 1, b = 7 $ だったから$ a = 2 $ で幾つか計算してみよう。
2つの数の組合せを計算しないといけないけど、奇偶を考えればチェックする数が減らせますね。

\[
\begin{eqnarray}
2^2 + 7^2 & = & 53 \nonumber \\
3^2 + 6^2 & = & 45 (ダメ) \nonumber \\
5^2 + 6^2 & = & 61 (ダメ) \nonumber \\
4^2 + 5^2 & = & 41 (ダメ) \nonumber
\end{eqnarray}
\]

うーん、だめだった。では次は和の大きさも考えて候補を減らそう。和の大きい順に抑えていって目標の数より下回ったら終わりということ。

\[
\begin{eqnarray}
2^2 + 8^2 & = & 68 \nonumber \\
5^2 + 7^2 & = & 74 (最大の組合せはダメ) \nonumber \\
3^2 + 7^2 & = & 58 (残ってる組合せで最大の組合せもダメ) \nonumber
\end{eqnarray}
\]

これもダメすね。はい次!

\[
\begin{eqnarray}
2^2 + 9^2 & = & 85 \nonumber \\
7^2 + 8^2 & = & 113 (最大の組合せはダメ) \nonumber \\
6^2 + 7^2 & = & 85 (残ってる中で最大の組合せはビンゴ!)\nonumber
\end{eqnarray}
\]


おぉ、85が2番めに小さな(省略)な数らしいぞ!
たまには地道に計算してみるのもいいものだね〜。

念のため、プログラムで検算してみよう(もちろん使うのはClojure)。

user> (def squares (map (fn [x] (* x x)) (range 1 10)))
#'user/squares
user> (filter (fn [[k v]] (>= (count v) 4))
              (apply merge-with concat
                     (for [x squares, y squares :while (<= y x)] {(+ x y) [x y]})))
([65 (49 16 64 1)] [50 (25 25 49 1)] [85 (49 36 81 4)])
あれれ、85は正しいけど3番目だったみたいだ。(1,7)から(2,7)じゃなくて、(1,6)を調べれば65に行き当たってたのになー。 ということで、2通りの方法で2つの平方数の和で表せる2番めに小さい自然数は65でした(ついでに3番めは85)。


2014-12-20

素数腕立て伏せ Advent Calendar 20日目 #prime_num_pushups

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平熱に戻ったし素数腕立て伏せすんぞオラ!

20日目
37回で勝ち(素数)


病み上がりだからセーブしただけだし。別にパワーダウンしてないし。

37ってベルヌーイ数に関係があるみたいですね。

37 is an irregular prime, since it divides the numerator of the Bernoulli number B_32 = -7709321041217/510.
37 - Wolfram|Alpha


そういえば昔にべき乗和の公式を調べてたときにベルヌーイ数を初めてみたんだったなぁ(その時は意味不明でしたが)。


ベルヌーイ数は、もともと、連続する整数のべき乗和を定式化する際に、展開係数として導入された。

(中略)

一方、日本ではベルヌーイとほぼ同時期に関孝和がべき乗和を定式化し、ベルヌーイ数を発見していた[6]。 そのため、ベルヌーイ数を関・ベルヌーイ数と書いている文献[7]もある。
ベルヌーイ数 - Wikipedia

関孝和も同時期に同じ結果を出していたらしい。関さんパネェ。


素数腕立て伏せ一言メモ
素数腕立て伏せは回数が増えるほど勝ちが困難になるという特徴があるが、裏を返せば回数が少ないほど勝ちが多くなる。
体力が落ちてツライときは無理せず、少ない回数で勝ちを取って気力を得よう。
ハングリー精神は健康になるまで取っておけ!



素数腕立て伏せとは関係ないけど、マンガ版『天地明察』七巻に出てきた関孝和は意外なキャラで面白かったです。和算がパズルとほぼ同じ時代に代数を考えていた関さんの異才は、同時代の主人公からすればまさに龍のごとしでしょう。(追記:勘違い、七巻じゃまだ関さんは出てこなかった、たぶん八巻で出る)



素数腕立て伏せ Advent Calendar 19日目 #prime_num_pushups


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風邪で高熱(インフルの可能性もあり)ってことが確定したけど素数腕立て伏せはやるよ!

19日目
33回で負け(合成数)



まぁかるく身体を動かして汗をかくのはいいと思うんだよね。


33 repeats a single digit in base 10.
33 - Wolfram|Alpha

数学と関係ないけど、英語でゾロ目はこういうふうに表現するんですね。

素数腕立て伏せとは関係ない風邪一言メモ
ポカリ必須(アクエリも可)、粉末のだと場所取らず常備できるから便利。
冷えピタシートはあると気持ちいい。
枕元にゲロっても大丈夫なようにゴミ箱や風呂桶を用意する、あとトイレットペーパーも。
暖かい毛布は身体の下に敷く。
おかゆのパックは常備しておくべし、だけど無理に食わなくてもいい。

2014-12-18

素数腕立て伏せ Advent Calendar 18日目 #prime_num_pushups

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ずっと筋肉痛だと思ってたけど、さらに寒気が加わるとなるとこれは。。。
アウトドア素数腕立て伏せはやってません。

18日目
31回で勝ち(素数)



筋肉痛のため記録ダウン。ちょっと肩こり(飽くまで肩こり)がヒドイから短めでよろしく。






2014-12-17

素数腕立て伏せ Advent Calendar 17日目 #prime_num_pushups


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とりあえず公園まで行ったもののアウトドア素数腕立て伏せをやる勇気が出ず、Ingressやって帰ってきました。
明日も行ってみよう、Ingressやりながら。

17日目
52回で負け(合成数)



51回で素数だと思ったけど 3*17 でしたね、勘違いして力尽きてしまった。。。

WolframAlpha先生によると52は5番目のベル数だとのこと。いろんな数があるのね。

52 is the 5th Bell number (B_5).
52 - Wolfram|Alpha

ベル数(ベルすう、英: Bell number)は、自然数のうちn個のものを分割(もしくはグループ化)する方法の総数にあたる数である。n番目のベル数を Bn とし、B0 = B1 = 1 と定義する。Eric Temple Bell にちなんで名付けられた。例えば 5 は3個のものをグループ化する方法の総数(後述)であるので 5 は3番目のベル数 B3 である。

(中略)

また素数を p とおくと次式が成り立つ。
\[B_{p+n}\equiv B_n+B_{n+1}\ (\operatorname{mod}\ p)\]
ベル数 - Wikipedia


あと52といえばトランプの枚数ですね。ベル数とトランプを絡めてなんかゲームを作れないかな(テキトー発言)。


素数腕立て伏せ一言メモ
ついに50台まで来たわけですが、ここから素数を区切りに選んだ真の効果が発動します。かなり辛くなってるのに次の素数までの間が長い!
これこそ腕力がついても常に困難な目標を持てるという素数腕立て伏せの真骨頂!


素数腕立て伏せ Advent Calendar 16日目 #prime_num_pushups

素数腕立て伏せってなんじゃ?という方はまずこちらをどうぞ。
素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ


このACではインド標準時を採用すると言ったな? あれは嘘だ。イラン標準時(UTC+3:30)でしたよ最初から。

16日目
43回で勝ち(素数)


43って一見素数っぽくないから負けだと勘違いしてしまった。グロタンディーク素数みたーい。


素数腕立て伏せAC一言メモ
0時を過ぎたとかそんな小さなことはどうでもいい、そもそも地球上の時間であるといつ言ったかね。こちらとしては冥王星時間でも一向に構わないですよ?
そんなことより素数腕立て伏せだ!

2014-12-15

素数腕立て伏せ Advent Calendar 15日目 #prime_num_pushups

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素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ


「アウトドア素数腕立て伏せ」という電波を受信したが受信拒否した。

15日目
47回で勝ち(素数)


宣言通りの47回の勝利。48の途中で潰れた。今の腕力は45〜48ぐらいのところに限界があるみたいっすね。

WolframAlpha先生によると47は8番目のLucas数とのこと。


47 is the 8th Lucas number (L_8).
47 - Wolfram|Alpha

ルーカス数じゃなくてリュカ数って読むみたい。フィボナッチ数列の親戚みたいなようですね。
リュカ数 - Wikipedia


素数腕立てニストからのお願い
道端で突然腕立て伏せをはじめる人がいてもなるべくスルーしてください。人間には健康で文化的な最低限度の腕立て伏せをする自由があるのです、たぶん。

2014-12-14

素数腕立て伏せ Advent Calendar 14日目 #prime_num_pushups

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素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ




14日目
46回で負け(合成数)


40を超えたあたりから目がチカチカしだして素数回がどうこうとかアタマから抜けてしまった。地味に記録は伸びてるので明日は47回(素数)越えを目指そう。

$ 46 = 4^0(8*5 + 6) $なので3つの平方数の和で表せる。うーん、$ 46 = 1^2 + 3^2 + 6^2 $か。
ほかにも特徴はないかな〜、WolframAlpha先生!

46 is the number of integer partitions of 18 into distinct parts (q(18)).
46 - Wolfram|Alpha

46は18を異なる整数に分割する数? Wikipediaによるとこういう分野があるみたいですね。

数学の各分野、特に数論および組合せ論において、正の整数 n の分割(ぶんかつ、英: partition)あるいは整分割 (integer partition) とは、与えられた正整数 n を正整数の和として表す方法をいう。
自然数の分割 - Wikipedia

オイラーの分割恒等式が気になるゾ。



素数腕立て伏せ一言メモ
合成数もそれぞれ特徴があって惹かれそうになりますが、飽くまで素数腕立てニストは素数のみを追求べし。合成数ダメ、ゼッタイ。

素数腕立て伏せ Advent Calendar 13日目 #prime_num_pushups

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二日酔いをしたことがない、というか二日酔いを自覚したことがない。

13日目
32回で負け(合成数)



変なタイミングで力が抜けてしまった。素数腕立て伏せも他のスポーツと同じく呼吸が大事です。なんか力は残ってるのにすっと潰れてしまう時がある。



ところで昨日の記録35回は「5通りの方法で3つの異なる素数の和で表せる最小の数字」とのことでした。

AC記事を上げたあと、つらつらと考えてみました。
もうちょい単純な条件で「2通りの方法で2つの異なる素数の和で表せる最小の数字」って何かなっと。
偶数の素数は2しか無いので奇偶を考えると2は使えない。
「うーん、ちょうど同じだけ離れた素数の組みがあれば、それぞれ組合せて同じ数に出来るんでは?」と考えた。
$(3,5), (11,13)$はちょうど2ずつ離れた素数の組だ(さらに全部異なる素数だ)。
ということは、$ 3 + 13 = 5 + 11 = 16 $ となるから、16が「2通りの方法で2つの異なる素数の和として表せる最小の数字」じゃないか!?
WolframAlpha先生に訊いてみたらやっぱりそうだった。やったぜ!

16 is the smallest number with 2 representations as a sum of 2 distinct primes:
16 = 3+13 = 5+11
16 - Wolfram|Alpha


さらに言えば、2通りの方法でn個の異なる素数の和として表せる最小の数字は、n個の異なる双子素数を見つければ良いんではないか?
そういや双子素数が無限にあるらしいという研究は、最近大きく前進したとのニュース記事があったなぁ。

無名の数学者、双子素数の問題で大きな前進
双子素数予想に進展があった - hiroyukikojimaの日記

これってゴールドバッハの予想とも関係あるらしいようで、初等整数論ってちょっと考えただけで超弩級難問にブチ当たるので怖いなと思いました(小並感)


素数腕立て伏せ一言メモ
呼吸大事とても大事。筋肉を使った後は脳みそ使う、チェスボクシングのごとく。

2014-12-13

素数腕立て伏せ Advent Calendar 12日目 #prime_num_pushups


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忘年会シーズンですね。私は今日、シャンパンを目に入れるとパチパチして痛いこと、目からでも酒は飲めるし酔うことを学びました。
さてもう21時半すぎなので、素数腕立て伏せを始めましょう(当ACではインド標準時を採用しています)。


12日目
35回で負け(合成数)



途中でちょっと気持ち悪くなったのでギブ。無理をするのが素数腕立て伏せなんですが、、、あ、明日がんばるから!


WolframAlpha先生によると、35は「5通りの方法で3つの異なる素数の和で表せる最小の数字」とのこと。

35 is the smallest number with 5 representations as a sum of 3 distinct primes:
35 = 3+13+19 = 5+7+23 = 5+11+19 = 5+13+17 = 7+11+17
35 - Wolfram|Alpha

3つの異なる素数の和ってことは、偶数なら必ず2を含まなくちゃいけないから「5通りの方法」だと35より大きくなりそうですね。ということは「5通りの方法で2つの異なる素数(ただし2は除く)の和で表せる最小の数」が分かれば、「5通りの〜最小の偶数」が分かりそうだなぁ。


素数腕立て伏せワンポイントアドバイス
飲んだら無理するな、最悪ウェーした物体に突っ込むことになる

2014-12-11

素数腕立て伏せ Advent Calendar 11日目 #prime_num_pushups


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今日も昨日と同じく2セットやるよ!

11日目
1セット目 41回
2セット目 22回
41 + 22 = 63回で負け(合成数)


今日の2セット目は昨日と変えて42からカウントする方式にしてみた。62回で潰れそうになって「昨日と同じ記録は嫌だ」という気持ちが働いて+1回できました。
1セット目の調子が良すぎたせいか、2セット目で疲れてしまったみたい。
$63 = 4^0(8*7 + 7)$ なので3個の平方数の和では表せませんね。

ところでWikipedia先生のページで興味深い記述が。

$63 = 2^6 - 1$。一般に n が合成数のとき$2^n-1$は合成数になる。
63 - Wikipedia


うーん、なんでだろ? n が 素数-1(合成数)の場合はフェルマーの小定理から明らかだよなー。
なんか関係あるかも、とメルセンヌ数のページを見てたら理由が書いてありました。オゥフ、高校数学を忘れてたでござる。

前者の対偶である命題「n が合成数ならば Mn は合成数である」は次の式から示される[3][8]。
\[2^{ab}-1 = (2^a - 1)\{1 + 2^a + 2^{2a} + ... + 2^{(b-1)a}\}\]
メルセンヌ数 - Wikipedia



2014-12-10

素数腕立て伏せ Advent Calendar 10日目 #prime_num_pushups

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いつか1729回の腕立て伏せをやって「今日は負けだな〜、1729なんて2通りの方法で2つの正の立方数の和で表せる最小の数字ってだけで合成数だもんね☆(ラ並感)」と言ってラマヌジャンごっこがしたいです!

10日目
1セット目 36回
2セット目 26回
36 + 26 = 62回で負け(合成数)


今日は昨日のACで宣言したとおり2セットやりました(一分ぐらいインターバルをおいてみた)。

2セット目のカウントのはじめは 37 or 1 で少し迷った。
けっきょく1から数えたわけですが、これだと常に現在の腕立てカウントと+36して素数判定をしなくちゃいけないので、もう少し訓練が必要ですね。

たしか『ご冗談でしょう、ファインマンさん』のエッセイで、モノをカウントするときに声で数えるタイプと数字を思い浮かべるタイプがいる、という話しがあったと思います。
訓練すれば脳内に36からのカウントと1からのカウントを同時に浮かべて、なおかつ素数判定の暗算ができるようになるのかなぁ〜。
$62 = 1^2 + 5^2 + 6^2$




素数腕立て伏せ一言メモ
記録の数字がどんな特徴をもっているか知りたいときはWolframAlphaかWikipediaでみるといいです。
Wikipediaは雑学含めて教えてくれるのでそういうのが好きな人はどうぞ。

62 - Wolfram|Alpha
62 - Wikipedia

今回みたいに複数回やる場合は数列になるので、オンライン整数列大辞典で検索するのも面白いかも。

36, 26 - OEIS








2014-12-09

素数腕立て伏せ Advent Calendar 9日目 #prime_num_pushups

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こんばんは! 将来的には素数腕立て伏せサイエンティスト協会を作ってトレーナー認定やセミナーなど資格商売でウハウハしようと思ってるdeltamです!

9日目
31回で勝ち(素数)


やはり31が山ですね。今回は40台までいこうと思ったんですが、今の腕力だと30前後で限界が来て「31か素数だ」と思うと一瞬気が抜けて潰れやすくなります。
(そろそろ30台の数字は飽きてきたんだけど...。)

無益な行為は楽しくなければ正しくない。明日の素数腕立て伏せは試験的に腕立て伏せ2セットの合計値で勝ち負けを決める方式をやってみます。これなら50台ぐらいまでいけるかなー。


素数腕立て伏せ一言メモ
いちおうルールは決めましたが、合わないと思ったら自分ルールをプラグインしてみましょう。
もともとは普通の筋トレに飽きてきたから素数回ジャッジを始めたわけで、まぁだいたいなんでもOKです。飽きないこと大事ね。

2014-12-08

素数腕立て伏せ Advent Calendar 8日目 #prime_num_pushups

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おっともう20時か〜(インド時間)

8日目
37回で勝ち(素数)



31からがキツかった〜。37は2日目と同じ記録。
30番代の記録が多かったせいか、$37=1^2+6^2$というのはすっと計算できるようになってきた。
あと重み付き平方和だと
\[ 37 \equiv 1 \; (\operatorname{mod}\;12) \]
なので
\[ 37 = 5^2 + 3*2^2 \]
と書けますね。


素数腕立て伏せワンポイントアドバイス
私だけかもしれないですが、無酸素運動の最中だと記憶したものを思い出すのが難しいです。
なので素数腕立て伏せをしているときは暗算で素数判定しながらやってます。

とはいえ大した計算じゃありません。偶数は即NGで奇数は3,5,7のどれかで割れるか試すだけ。
いまの腕力だとどう頑張っても100回は行きません。自然数Nの素因数は$\sqrt{N}$以下なので、10以下の素数で割ればOK。

まぁ、こんなことやるより素数表でも置いときゃ良いんですが、効率を求めてたらこんな筋トレやりませんって。


コンピュータと素因子分解

素数腕立て伏せ Advent Calendar 7日目 #prime_num_pushups

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はっ寝てた。
AC的には失敗ですが、しょうがないのでこのACでは最初から「インドのタイムゾーンを使用していた」ことにします。ハハッ、まだ21時だ。

7日目
29回で勝ち(素数)



昨日、2セットやったのが響いているのかちょっと腕がつらかった。28で潰れそうになったのを素数力を振り絞り+1回やりました。


ところで29は4で割って1余る素数なので2平方和定理より2つの平方数の和で表せます。

\[ 29 = 2^2 + 5^2 \]

2平方和定理を初等的に証明する方法はいろいろあるみたいですが、Zagier先生の一文証明が面白いですね。

有限集合$S=\{(x,y,z)\in\mathbb{N}^3|x^2+4yz=4n+1\}$上の対合
\[ (x,y,z) \mapsto \begin{cases}
(x+2z,z,y-x-z) & \mbox{if; } x<y-z \\
(2y-x,y,x-y+z) & \mbox{if; } y-z<x<2y \\
(x-2y,x-y+z,y) & \mbox{if; } 2y<x
\end{cases}
\]
は必ず一個の不動点を持つから、集合Sの元の個数は奇数であり、対合
\[(x,y,z)\mapsto(x,z,y)\]
も不動点を持つ。

二個の平方数の和 - Wikipedia


たしかこの証明を初めて知ったのは数学セミナーの記事でした。一見意味不明ですが、ちゃんと計算してやるといい感じに収まります。
※ 対合=2回やると元の要素に戻る写像。

たしか最初の対合がちょうど一つの不動点を持つと確かめるのに計算が面倒だった気がする。
対合はいわゆる「はーい、二人組を作って〜」ってやつなので不動点=ぼっちが1人いることを示せれば集合Sの要素数は奇数だと言える。そんで2番目の対合にもぼっち、じゃなかった不動点があるので $4n+1=x^2+4yz=x^2+(2y)^2$と書けてQEDという流れです。



素数腕立て伏せ一言アドバイス
メシ食う前にやるべ。眠くなっからな。

2014-12-06

素数腕立て伏せ Advent Calendar 6日目 #prime_num_pushups

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豚バラ白菜鍋を作るのに夢中になっていたらこんな時間じゃないか! 鍋が煮えるあいだに素数腕立て伏せすっぞ!
(昨日の反省を踏まえてメガネは取った)


6日目
33回で負け(合成数)


31で一山越えて32で潰れそうになったが踏みとどまった。だけど34には勝てなかったよ......。
まだ鍋が煮えてないのでもう一回やってみる。

6日目(2セット目)
22回で負け(合成数)


1日で二度負けちゃったよ、勇次郎に怒られそうだよ......。だけど鍋は美味そうに煮えてきたよぉ。

最近、腕の筋肉痛が無くなってきたので2セットやってみましたが、キーボード打つ手がぷるぷるしてきたので今日はここまでにします。


素数腕立て伏せ一言PR
寒いですね、素数腕立て伏せです!
筋トレしたいけど時間がない? 素数腕立て伏せです!
クリスマスに予定がない? 素数腕立て伏せアドベントカレンダーです!

※ 当方では素数腕立て伏せアドベントカレンダー参加者を随時募集しております。
参加登録とかしゃらくさいものは要りません。素数腕立て伏せをやったら #prime_num_pushups をつけてツイートしましょう!

#prime_num_pushups - Twitter検索

2014-12-05

素数腕立て伏せ Advent Calendar 5日目 #prime_num_pushups

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素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ


自然数に0を含めるうんぬんを調べてたらますます分からなくなってきたので、明日は積読になってたこの本を読んでみよう。

数とは何かそして何であるべきか (ちくま学芸文庫)




5日目
28回で負け(合成数)


「自然数に0を含めるのか」を考えながら素数腕立て伏せを始めたらメガネをかけっぱなしであることに気づいて動揺してしまった。他事に気を取られては記録は伸びぬ。28回は1日目と同じですね。


28 - Wolfram|Alpha
1日目ではスルーしてましたが、28は完全数でもあるんですね。うーむ、完全数腕立て伏せをやったら28の次が496なので、すごく記録が伸びづらくなるなぁ。素数は程よく散らばってて良い!



素数腕立て伏せ一言アドバイス
メガネは外せ、腕立て伏せをはじめる前にメガネを外すのだ(4日ぶり2回目)



【自然数に0を含めるか関係リンク】
自然数 - Wikipedia

「先生、0って自然数ですか?」|多摩英数進学教室 栗平校
0は自然数か | 東海大学理学部情報数理学科

#0は自然数 - Twitter検索

2014-12-04

素数腕立て伏せ Advent Calendar 4日目 #prime_num_pushups

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大寒波が来るみたいですが、あいも変わらず素数腕立て伏せを続けていきますよ。


4日目
32回で負け(合成数)


3日目は31回を目指して30回で潰れましたが、今日は31回を越えて気が緩んでしまったようです。次の37まで続ける素数力が足りなかったぜ......。




ところで3日目記事で「自然数を3つの平方数の和で表せる条件ってなんなんだろね」と書きましたが識者より情報を頂きました!



自然数$N$が三個の平方数の和で表されるための必要十分条件は、$n\ge0,k\ge0,a\in\{1,2,3,5,6\}$により、$N=4^n(8k+a)$と表されることである。逆に、$N=4^n(8k+7)$で表される自然数は三個の平方数の和で表されない。これはディオファントスの時代から研究されてきた[1]ことであるが、1798年、ルジャンドルによって証明された。

三個の平方数の和 - Wikipedia

$30=4^0(8*3+6)$となるので3平方和で表せるということですね。今日の32は$32=4^2(8*0+2)$となるので3平方和に表せる。毎度WolframAlpha先生に聞くのもアレなので3つの平方数を計算してみます。

32未満の平方数は$\{1,4,9,16,25\}$ですね。……あっれー、0を含めないと3平方和で表せなくね???

\[32=0^2+4^2+4^2\]

WolframAlpha先生も3平方和は出してくれないし...。
32 - Wolfram|Alpha

自然数に0を含めるうんぬんのアレなんですかねぇ。時間がギリになったので一旦棚上げしますが。


[2014-12-07追記]
これって単純に平方数に$0^2$を含めてなかっただけですね、自然数と0は関係ない。筋トレ直後の酸欠で脳みそがアレだったから間違えちゃった(・ω<)☆

2014-12-03

素数腕立て伏せ Advent Calendar 3日目 #prime_num_pushups

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今回はちゃんと腕を90度曲げたぜ!

3日目
30回で負け(合成数)


20回までは勢いでいける、「23か29あたりで妥協しようかなー」という気持ちが湧いてくるのでそれを振り払うのが一山。あと必死にやってると一瞬、「27が素数なのでは」と思ってしまうが$27=3^3$なので気をつけよう。29の誘惑を振りきった後、あと1回が続かなかった。無念。

WolframAlpha先生に聞く前に素因数分解してみると $30=2*3*5$となり、1日目記事を参考にすると「合成数かつ3を平方で素因数に持ってない」ので2つの平方数の和としては表せないってことが分かります。
30 - Wolfram|Alpha

ところが先生によると$30=1^2+2^2+5^2$と表せちゃう。自然数を3つの平方数の和で表せる条件ってなんなんだろね。


素数腕立て伏せ一言アドバイス
「せっかくだからBGMはクセナキスを流してみっか」とか思ってもやらんほうがいいです(テンション上がらない)。素数腕立て伏せだろうが筋トレBGMはロッキーのテーマが定跡のようだ。



2014-12-02

素数腕立て伏せ Advent Calendar 2日目 #prime_num_pushups

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素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ



MathJaxを導入して数式がキレイに表示できるようにしてみた。昨日のAC1日目の記事もちょいと修正してみました。すこしTeXの書き方を覚えるだけでLife Changingだなこりゃ。


2日目
37回で勝ち(素数)


昨日の素数腕立て伏せの筋肉痛のせいか、腕の曲げ角がすこし鈍角になっていたように思う。今回は素数回までいけたが、回数が多いほうが良いわけではなく限界まで続けるのがキモなので、明日は回数の多さにこだわらず鋭角に腕を曲げよう。


今日もWolframAlpha先生に37について聞いてみよう。
37 - Wolfram|Alpha

37は原子ピタゴラス数の斜辺の数であるとのこと。

\[37^2 = 12^2 + 35^2\]

斜辺が37で1辺が35ってことは、かなり鋭角な直角三角形ですね。……まさか腕をこの直角三角形の斜辺のごとく鋭角に曲げよとの啓示なのか!



素数腕立て伏せ一言メモ
最後は床に伏せることになるんで床が汚いとツライ。素数腕立て伏せを続ければクイックルワイパーする習慣がつくのでは。




【MathJax参考サイト】
Irreducible representation: MathJax in Blogger (II)
BloggerでMathJaxを使ってTeXっぽく数式を入れる方法 - Ichiro Maruta Homepage

2014-12-01

素数腕立て伏せ Advent Calendar 1日目 #prime_num_pushups

素数腕立て伏せってなんじゃ?という方はまずこちらをどうぞ。

素数腕立て伏せについて : サルノオボエガキ
素数腕立て伏せ進行状況 - Togetterまとめ

このアドベントカレンダーでは今日から毎日、素数腕立て伏せをしてその実施報告をしていきます。誰が得をするのか分からないけど、今日の昼頃に急に思い立ったのでしょうがない。インターネットでは誰かが得をすることはもう誰かがやっているので、私がやる必要はないのです。

1日目
28回で負け(合成数)。

1日目から負けとは悔しい。23回あたりで「29回までならイケるやろ」と気を抜いたのがダメだったみたい。ひさしぶりだったせいか、素数力(素数回目までがんばろうという気力)の出し方を忘れているようだ。

負けだけど、せっかくなので28をWolframAlpha先生に聞いてみよう。
28 - Wolfram|Alpha
28は3通りの方法で4つの平方数の和で表せる最小の数字。だけど3つの平方数の和で表すのは不可能だそうです。なんでだろね?(※)


素数腕立て伏せ一言アドバイス
メガネは外しておきましょう。力尽きた時に刺さります。(危なかった)


なおこのACは29日か31日まで続けます。25は5*5だからヤダ。




※ 長風呂してちょっと考えてみた。
二乗して28より小さい自然数は1〜5。28は偶数だから3つの平方数は$(偶,偶,偶)$か$(偶,奇,奇)$の組み合わせになるはず。つまり最低一つは偶数が含まれる。その偶数を$2a$として表そう。$b,c$を3つ組みの残りとして次のように式変形してみる。

\[
\begin{eqnarray}
28 = 2^2*7 & = & (2a)^2+b^2+c^2 \nonumber \\
2^2(7-a^2) & = & b^2+c^2 \nonumber
\end{eqnarray}
\]

$2a = 2 \ or\ 4$ だから $a=1\ or\ 2$。ということは次の2つの場合が不可能と言えればOKそう。

\[
\begin{eqnarray}
2^2(7-1^2) = 2^3 *3 & = & b^2+c^2 \\
2^2(7-2^2) = 2^2 *3 & = & b^2+c^2
\end{eqnarray}
\]

ここまで考えてよく分かんなくなってきたので、Wikipediaのこのページでカンニングした。
二個の平方数の和 - Wikipedia

(1)の場合は合成数についての証明に「素因数として3を平方以外で持ってる数は二平方和で表せない」とあるので大丈夫。
(2)も同じ理由で不可能。
これで証明終了できた...っぽい。